分析:(I)由
=(cosα,sinα),能求出
||的值.
(II)由(
+)•(
-)=(cosα+cosβ)(cosα-cosβ)+(sinα+sinβ)(sinα-sinβ)=0,能證明(
+)⊥(
-).
(III)由
k+=(kcosαβ,ksinα+sinβ),
-k=(cosα-kcosβ,sinα-ksinβ)和|k
+
|=|
-k
|,能夠求出
β-α=.
解答:解:(I)解:∵
=(cosα,sinα),
∴
|| ==1.(3分)
(II)證明:∵(
+)•(
-)
=(cosα+cosβ)(cosα-cosβ)+(sinα+sinβ)(sinα-sinβ)(6分)
=cos
2α-cos
2β+sin
2α-sin
2β
=0,
∴(
+)⊥(
-).(8分)
(III)解:∵
k+=(kcosαβ,ksinα+sinβ),
∴
-k=(cosα-kcosβ,sinα-ksinβ),(10分)
∴
|k+| = | (kcosα+cosβ)2+(ksinα+sinβ)2 |
=
,(12分)
|-k| = | (cosα-kcosβ)2+(sinα-ksinβ)2 |
=
,
∵|k
+
|=|
-k
|,
∴
=,
整理,得2kcos(β-α)=-2kcos(β-α)
又k≠0,∴cos(β-α)=0
∵0<α<β<π,
∴0<β-α<π,
∴
β-α=.(14分)
點評:本題考查向量的模的求法,求證:
+與
-互相垂直和求β-α的值.綜合性強,較繁瑣,容易出錯.解題時要認真審題,注意三角函數(shù)恒等變換的靈活運用.