(本題滿分12分)在如圖的多面體中，⊥平面，,，，，，，是的中點(diǎn)．

(Ⅰ) 求證：平面；

(Ⅱ) 求證：；

(Ⅲ) 求二面角的余弦值.

 

【答案】

 

【解析】

試題分析：

解：(Ⅰ)證明：∵，∴； 又∵，是的中點(diǎn)，∴，且，∴四邊形是平行四邊形，∴. ∵平面，平面，∴平面.      4分

(Ⅱ) 解法1：證明：∵平面，平面，∴；又，平面，∴平面. 過作交于，則平面.∵平面，∴.

∵，∴四邊形平行四邊形，∴，∴，又，∴四邊形為正方形，∴，又平面，平面，∴⊥平面. ∵平面，∴.         8分

解法2：∵平面，平面，平面，∴，，又，∴兩兩垂直. 以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系. 由已知得，，，，；∴，，

∴，∴.   8分

(Ⅲ)由已知得是平面的法向量. 設(shè)平面的法向量為，

∵，

∴，∴，即，令,得.

設(shè)二面角的大小為，由法向量與的方向可知，，

∴，即二面角的余弦值為.   12分

考點(diǎn)：本題考查線面位置關(guān)系、二面角等有關(guān)知識(shí)，考查空間想象能力，中等題.

點(diǎn)評：

 

練習(xí)冊系列答案
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