Question

10．若x₁滿足3^x-1=2-x，x₂滿足log₃（x-1）+x-2=0，則x₁+x₂等于（　　）

• A． $\frac{3}{2}$
• B． 2
• C． $\frac{5}{2}$
• D． 3

Answer 1

分析 方法一：采用換元法，根據(jù)互為反函數(shù)圖象的對(duì)稱性解題；
方法二：通過(guò)觀察得出函數(shù)的零點(diǎn)，即可得出結(jié)果．

解答 解：方法一：令t=x-1，
方程①可變形為：3^t=1-t，t₁為該方程的根，
方程②可變形為：log₃t=1-t，t₂為該方程的根，
由于函數(shù)y=3^t與函數(shù)y=log₃t互為反函數(shù)，
所以它們的圖象關(guān)于直線y=x軸對(duì)稱，
故兩圖象與直線y=1-t的交點(diǎn)（t₁，y₁），（t₂，y₂）也關(guān)于y=x對(duì)稱，
所以，t₁+t₂=1，
而x₁=t₁+1，x₂=t₂+1，所以，x₁+x₂=t₁+t₂+2=3，
方法二：觀察題中方程，
x₁滿足3^x-1=2-x，顯然x₁=1是方程的根，
x₂滿足log₃（x-1）+x-2=0，顯然x₂=2是方程的根，
所以，x₁+x₂=3．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)的零點(diǎn)，指數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，運(yùn)用了函數(shù)與方程，數(shù)形結(jié)合的解題思想，屬于中檔題．