分析 (1)設(shè)面PAB∩面PCD=直線m,由線面平行的判定得AB∥面PCD,再由線面平行的性質(zhì)得AB∥直線m,進一步得到直線m∥面ABCD;
(2)設(shè)CD的中點為M,連接OM、PM,可得OP在平面PCD上的射影在PM上,然后求解直角三角形可得軸OP與平面PCD所成的角的正切值.
解答 (1)證明:設(shè)面PAB∩面PCD=直線m,
∵AB∥CD,且CD?平面PCD,∴AB∥面PCD,得AB∥直線m,
∵AB?面ABCD,∴直線m∥面ABCD.
∴面PAB與面PCD的公共交線平行底面ABCD;
(2)解:設(shè)CD的中點為M,連接OM、PM,
∵OC=OD,∴OM⊥CD,
設(shè)OD=r,則$OM=\frac{{\sqrt{3}}}{2}r$,
又OP⊥平面OCD,∴OP⊥CD,
又OP∩OM=O,∴CD⊥平面OPM,
過O作OH⊥PM,垂足為H,則CD⊥OH,
又OH∩PM=H,∴OH⊥平面PCD,
∴OP在平面PCD內(nèi)的射影為PH,
則∠OPH為軸OP與平面PCD所成的角的平面角,
又母線與底面所成的角為45°,即∠ODP=45°,∴OP=OD=r,
在直角△POM中,$tan=∠OPM=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$,
而∠OPM=∠OPH,∴軸OP與平面PCD所成的角的正切值為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$.
點評 本題考查直線與平面平行的判定,考查直線與平面所成角的求法,考查空間想象能力和思維能力,是中檔題.
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A. | 2 | B. | $\frac{4}{3}$ | C. | $-\frac{3}{2}$ | D. | 4 |
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A. | -1 | B. | $\frac{1}{2}$ | C. | 2 | D. | -3 |
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A. | 第一象限 | B. | 第二象限 | C. | 第三象限 | D. | 第四象限 |
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