Question

已知ABCD-A₁B₁C₁D₁是底面邊長為1的正四棱柱，O₁為A₁C₁與B₁D₁的交點(diǎn)．
（1）設(shè)AB₁與底面A₁B₁C₁D₁所成角的大小為α，二面角A-B₁D₁-A₁的大小為β．求證：；
（2）若點(diǎn)C到平面AB₁D₁的距離為，求正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的高．

Answer 1

【答案】分析：（1）此題由題意畫出圖形因?yàn)锳BCD-A₁B₁C₁D₁是底面邊長為1的正四棱柱，O₁為A₁C₁與B₁D₁的交點(diǎn)，且設(shè)AB₁與底面A₁B₁C₁D₁所成角的大小為α，二面角A-B₁D₁-A₁的大小為β，所以應(yīng)先利用線面角及二面角的定義求出α，β，即可得證；
（2）由圖形借助面面垂直找到點(diǎn)C在平面AB₁D₁的位置，利用三角形的相似解出．
解答：解：（1）由題意畫出圖形為：

∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是底面邊長為1的正四棱柱，
∴底面為正方形且邊長為1，又因?yàn)锳B₁與底面A₁B₁C₁D₁所成角的大小為α，∴，
又因?yàn)槎�面角A-B₁D₁-A₁的大小為β，且底面邊長為1的正四棱柱，O₁為A₁C₁與B₁D₁的交點(diǎn)，∴∠AO₁A₁=β，∴ 
而底面A₁B₁C₁D₁為邊長為1的正方形，∴，∴．
（2）∵O₁為B₁D₁的中點(diǎn)，而△AB₁D₁是以B₁D₁為底邊的等腰三角形，∴AO₁⊥B₁D₁∴B₁D₁⊥平面ACC₁A₁∴平面AB₁D₁⊥平面ACC₁A₁
且交線為AO₁，∴點(diǎn)C到平面AB₁D₁的投影點(diǎn)必落在A0₁上即垂足H，在矩形AA₁C₁C中，利用R_t△AA₁O₁∽R_t△CHA 得到，而，∴?⇒AA₁=2，
故正四棱錐的高為AA₁=2．
點(diǎn)評：此題重點(diǎn)考查了線面角，二面角，點(diǎn)到面的距離這些定義，還考查了學(xué)生的空間想象能力及計(jì)算能力．