Question

9．如圖，矩形ABCD中AB=2，BC=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，M，N分別為AB，CD中點，BD與MN交于O，現(xiàn)將矩形沿MN折起，使得二面角A-MN-B的大小為$\frac{π}{3}$，則折起后cos∠DOB為（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $-\frac{1}{2}$
• C． $\frac{1}{8}$
• D． $-\frac{1}{8}$

Answer 1

分析 先求出BO=DO=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，再以N為原點，NM為x軸，NC為y軸，過N垂直于平面NMBC的直線為z軸，建立空間直角坐標系，求出|BD|，由此利用余弦定理能求出折起后cos∠DOB．

解答 解∵矩形ABCD中AB=2，BC=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，M，N分別為AB，CD中點，BD與MN交于O，
現(xiàn)將矩形沿MN折起，使得二面角A-MN-B的大小為$\frac{π}{3}$，
∴BO=DO=$\sqrt{（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}+{1}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
如圖，以N為原點，NM為x軸，NC為y軸，過N垂直于平面NMBC的直線為z軸，建立空間直角坐標系，
則B（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，1，0），D（0，$\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$），
|BD|=$\sqrt{（\frac{2\sqrt{3}}{3}-0）^{2}+（1-\frac{1}{2}）^{2}+（0-\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{7}{3}}$，
∴cos∠DOB=$\frac{B{O}^{2}+D{O}^{2}-B{D}^{2}}{2BO•DO}$=$\frac{\frac{4}{3}+\frac{4}{3}-\frac{7}{3}}{2×\frac{2\sqrt{3}}{3}×\frac{2\sqrt{3}}{3}}$=$\frac{1}{8}$，
∴折起后cos∠DOB=$\frac{1}{8}$．
故選：C．

點評 本題考查角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法及余弦定理的合理運用．