Question

19．如圖，直線(xiàn)PB與⊙O交于A，B兩點(diǎn)，OD⊥AB于點(diǎn)D，PC是⊙O的切線(xiàn)，切點(diǎn)為C．
（1）求證：PC²+AD²=PD²
（2）若BC是⊙O的直徑，BC=3BD=3，試求線(xiàn)段BP的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由垂徑定理和切割線(xiàn)定理得AD=BD，PC²=PA•PB=（PD-AD）（PD+AD），由此能證明PC²+AD²=PD²．
（2）求出AB=2BD=2，在Rt△BCP中，由射影定理得BC²=BA•BP，即可求出線(xiàn)段BP的長(zhǎng)．

解答 證明：（1）∵直線(xiàn)PB與圓O交于A，B兩點(diǎn)，OD⊥AB于點(diǎn)D，PC是圓O的切線(xiàn)，切點(diǎn)為C．
∴AD=BD，PC²=PA•PB=（PD-AD）（PD+AD）=PD²-AD²，
∴PC²+AD²=PD²．
解：（2）∵BC是⊙O的直徑，
∴AC⊥AB，
∵D是AB的中點(diǎn)，
∴AB=2BD=2，
在Rt△BCP中，由射影定理得BC²=BA•BP，
∴BP=$\frac{B{C}^{2}}{AB}$=$\frac{9}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩線(xiàn)段的平方和等于第三條線(xiàn)段的平方的證明，考查射影定理的運(yùn)用，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意圓的性質(zhì)的合理運(yùn)用．