Question

4．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，且∠DAB=60°．點E是棱PC的中點，平面ABE與棱PD交于點F．
（Ⅰ）求證：AB∥EF；
（Ⅱ）若PA=PD=AD，且平面PAD⊥平面ABCD，求平面PAF與平面AFE所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導出AB∥CD，從而AB∥面PCD，由此能證明AB∥EF．
（Ⅱ）取AD中點G，連接PG，GB．以G為原點，GA為x軸，GB為y軸，GP為z軸，建立空間直角坐標系G-xyz．利用向量法能求出平面PAF與平面AFE所成的銳二面角的余弦值．

解答 （本小題滿分13分）
證明：（Ⅰ）因為底面ABCD是菱形，所以AB∥CD．
又因為AB?面PCD，CD?面PCD，所以AB∥面PCD．
又因為A，B，E，F(xiàn)四點共面，且平面ABEF∩平面PCD=EF，
所以AB∥EF．  …（5分）
解：（Ⅱ）取AD中點G，連接PG，GB．
因為PA=PD，所以PG⊥AD．
又因為平面PAD⊥平面ABCD，
且平面PAD∩平面ABCD=AD，
所以PG⊥平面ABCD．所以PG⊥GB．
在菱形ABCD中，因為AB=AD，∠DAB=60°，G是AD中點，
所以AD⊥GB．
如圖，以G為原點，GA為x軸，GB為y軸，GP為z軸，建立空間直角坐標系G-xyz．
設(shè)PA=PD=AD=2a，
則G（0，0，0），A（a，0，0），$B（0，\sqrt{3}a，0），C（-2a，\sqrt{3}a，0），D（-a，0，0），P（0，0，\sqrt{3}a）$．
又因為AB∥EF，點E是棱PC中點，所以點F是棱PD中點．
所以$E（-a，\frac{{\sqrt{3}a}}{2}，\frac{{\sqrt{3}a}}{2}）$，$F（-\frac{a}{2}，0，\frac{{\sqrt{3}a}}{2}）$．
所以$\overrightarrow{AF}=（-\frac{3a}{2}，0，\frac{{\sqrt{3}a}}{2}）$，$\overrightarrow{EF}=（\frac{a}{2}，-\frac{{\sqrt{3}a}}{2}，0）$．
設(shè)平面AFE的法向量為n=（x，y，z），則有$\left\{{\begin{array}{l}{n•\overrightarrow{AF}=0}\\{n•\overrightarrow{EF}=0}\end{array}}\right.$所以$\left\{{\begin{array}{l}{z=\sqrt{3}x}\\{y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}x}\end{array}}\right.$
令x=3，則平面AFE的一個法向量為$n=（3，\sqrt{3}，3\sqrt{3}）$．
因為BG⊥平面PAD，所以$\overrightarrow{GB}=（0，\sqrt{3}a，0）$是平面PAF的一個法向量．
因為$cos＜n，\overrightarrow{GB}＞=\frac{{n•\overrightarrow{GB}}}{{|n|•|{\overrightarrow{GB}}|}}=\frac{3a}{{\sqrt{39}•\sqrt{3}a}}=\frac{{\sqrt{13}}}{13}$，
所以平面PAF與平面AFE所成的銳二面角的余弦值為$\frac{{\sqrt{13}}}{13}$．  …（13分）

點評 本題考查線線平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．