Question

15．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=t+6\\ y=3-\frac{1}{2}t\end{array}\right.$（參數(shù)t∈R），曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=2sinθ+2\end{array}\right.$（參數(shù)θ∈[0，2π））．
①化曲線C的方程為普通方程，并指出它表示的是什么曲線；
②若將曲線C上的各點(diǎn)的縱坐標(biāo)都?jí)嚎s為原來(lái)的一半，得曲線C′．求曲線C′上的動(dòng)點(diǎn)P到直線l距離的最大值及對(duì)應(yīng)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 ①根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系消去參數(shù)θ得出曲線C的普通方程，即可得出曲線類型；
②寫出曲線C′的參數(shù)方程，即P點(diǎn)坐標(biāo)，求出直線l的普通方程．利用點(diǎn)到直線的距離公式得出距離d關(guān)于參數(shù)θ的函數(shù)，利用三角恒等變換及θ的范圍得出d的最大值及P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：①曲線C的普通方程為x²+（y-2）²=4，
曲線C表示圓心為（0，2），半徑為2的圓．
②曲線C′的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ+1}\end{array}\right.$，∴P（2cosθ，sinθ+1），
直線l的普通方程為x+2y-12=0．
∴P到直線l的距離d=$\frac{|2cosθ+2sinθ+2-12|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|2\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）-10|}{\sqrt{5}}$．
∴當(dāng)sin（$θ+\frac{π}{4}$）=-1即θ=$\frac{5π}{4}$時(shí)，d取得最大值$\frac{2\sqrt{2}+10}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{10}}{5}+2\sqrt{5}$．
此時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為（-$\sqrt{2}$，1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，點(diǎn)到直線的距離公式及三角恒等變換，屬于中檔題．