Question

【題目】設(shè)函數(shù),其中為實(shí)數(shù).

（1）若在上是單調(diào)減函數(shù), 且在上有最小值, 求的取值范圍；

（2）若在上是單調(diào)增函數(shù), 試求的零點(diǎn)個(gè)數(shù), 并證明你的結(jié)論.

Answer 1

【答案】（１）；（２）當(dāng)或時(shí)，有個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí),有個(gè)零點(diǎn)，證明見(jiàn)解析．

【解析】

試題分析：（１）求導(dǎo)數(shù)，利用在上是單調(diào)減函數(shù)，轉(zhuǎn)化為在上恒成立，利用在上有最小值，結(jié)合導(dǎo)數(shù)知識(shí)，即可求得結(jié)論；（２）先確定的范圍，再分類(lèi)討論，確定的單調(diào)性，從而可得的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

試題解析：（1）在上恒成立, 則,故.,

若,則在上恒成立, 此時(shí), 在上是單調(diào)增函數(shù),

無(wú)最小值, 不合；若,則在上是單調(diào)減函數(shù), 在上是單調(diào)增函數(shù),

,滿足. 故的取值范圍.

（2）在上恒成立, 則,故.

①若, 令得增區(qū)間為；令得減區(qū)間為,

當(dāng)時(shí), ；當(dāng)時(shí), ；當(dāng)時(shí),,

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào). 故:時(shí), 有個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí), 有個(gè)零點(diǎn).

②若,則,易得 有個(gè)零點(diǎn)；

③若,則在上恒成立, 即：在上是單調(diào)增函數(shù),

當(dāng)時(shí), ；當(dāng)時(shí), . 此時(shí), 有個(gè)零點(diǎn).

綜上所述：當(dāng)或時(shí), 有個(gè)零點(diǎn)；故時(shí), 有個(gè)零點(diǎn).