Question

20．橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的焦點F₁，F₂，P為橢圓上的一點，已知PF₁⊥PF₂，則P到x軸的距離$\frac{9}{4}$．

Answer 1

分析 由題意方程求出橢圓的半焦距，設出P的坐標，結合PF₁⊥PF₂，可得${{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}=16$，再由P在橢圓上可得$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{25}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{9}=1$，聯立兩方程組可得P的坐標，則答案可求．

解答 解：如圖，
由橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，得a²=25，b²=9，∴c²=a²-b²=16，
設P（x₀，y₀），由PF₁⊥PF₂，得${{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}=16$，①
又$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{25}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{9}=1$，②
聯立①②可得${{y}_{0}}^{2}=\frac{81}{16}$，∴|y₀|=$\frac{9}{4}$．
∴P到x軸的距離為$\frac{9}{4}$．
故答案為：$\frac{9}{4}$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，考查了方程組的解法，是基礎的計算題．