Question

6．已知sinα+sinβ=$\sqrt{2}$，cosα+cosβ=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，求tan（α+β）的值．

Answer 1

分析 利用和差化積公式、同角三角函數(shù)關(guān)系式求解．

解答 解：∵sinα+sinβ=$\sqrt{2}$，
∴利用和差化積公式得：
2sin$\frac{α+β}{2}$cos$\frac{α-β}{2}$=$\sqrt{2}$，①
∵cosα+cosβ=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
∴利用和差化積公式得：
2cos$\frac{α+β}{2}$cos$\frac{α-β}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，②
①÷②得：
$\frac{sin\frac{α+β}{2}}{cos\frac{α+β}{2}}$=$tan\frac{α+β}{2}$=3，
∴tan（α+β）=$\frac{2tan\frac{α+β}{2}}{1-ta{n}^{2}\frac{α+β}{2}}$=$\frac{2×3}{1-{3}^{2}}$=-$\frac{3}{4}$．

點評 本題考查三角函數(shù)值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意和差化積公式、同角三角函數(shù)關(guān)系式的合理運用．