Question

4．已知在等比數(shù)列{a_n}中，a_n+1＞a_n，對n∈N^*恒成立，且a₁a₄=8，a₂+a₃=6．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式（
Ⅱ）若數(shù)列{b_n}滿足$\frac{{a}_{1}}{_{1}}+\frac{3{a}_{2}}{_{2}}$+…+$\frac{（2n-1）{a}_{n}}{_{n}}$=n，（n∈N^*），求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （I）利用等比數(shù)列的通項公式及其性質即可得出．
（II）利用等比數(shù)列的前n項和公式、“錯位相減法”即可得出．

解答 解：（I）設等比數(shù)列{a_n}的公比為q，a_n+1＞a_n，對n∈N^*恒成立，且a₁a₄=8，a₂+a₃=6．
∴a₂a₃=8，聯(lián)立解得a₂=2，a₃=4．
∴q=2．
∴a_n=2×2^n-2=2^n-1．
（II）∵數(shù)列{b_n}滿足$\frac{{a}_{1}}{_{1}}+\frac{3{a}_{2}}{_{2}}$+…+$\frac{（2n-1）{a}_{n}}{_{n}}$=n，（n∈N^*），
∴$\frac{{a}_{1}}{_{1}}$=1，解得b₁=1．
n≥2時，$\frac{（2n-1）{a}_{n}}{_{n}}$=n-（n-1）=1，
∴b_n=（2n-1）•2^n-1．
∴數(shù)列{b_n}的前n項和S_n=1+3×2+5×2²+…+（2n-1）•2^n-1．
2S_n=2+3×2²+…+（2n-3）•2^n-1+（2n-1）•2ⁿ，
∴-S_n=1+2（2+2²+…+2^n-1）-（2n-1）•2ⁿ=$2×\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$-1-（2n-1）•2ⁿ=（3-2n）•2ⁿ-3，
∴S_n=（2n-3）•2ⁿ+3．

點評 本題考查了遞推關系、等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、“錯位相減法”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．