Question

19．已知函數(shù)f（x）=（x+m）lnx在點(diǎn)（1，f（1））處的切線(xiàn)與直線(xiàn)y=x垂直．
（1）求函數(shù)g（x）=f（x）+2lnx在[t，t+1]（t＞0）上的最小值；
（2）證明：f（x）＞-1．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得切線(xiàn)的斜率，解方程可得m=-2，求得g（x）的導(dǎo)數(shù)，可得單調(diào)區(qū)間和極值、最值，討論t與極值點(diǎn)的大小，運(yùn)用單調(diào)性即可得到所求最小值；
（2）由題意可得0小于h（x）=（x-2）lnx+1的最小值．求出h（x）的導(dǎo)數(shù)，求得極小值點(diǎn)，且為最小值點(diǎn)，運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)可得最小值的范圍大于0，即可得證．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=（x+m）lnx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=lnx+$\frac{x+m}{x}$，
可得在點(diǎn)（1，f（1））處的切線(xiàn)斜率為1+m，
由切線(xiàn)與直線(xiàn)y=x垂直，可得1+m=-1，解得m=-2，
函數(shù)g（x）=f（x）+2lnx=xlnx，g′（x）=1+lnx，
當(dāng)x＞$\frac{1}{e}$時(shí)，g′（x）＞0，g（x）遞增；
當(dāng)0＜x＜$\frac{1}{e}$時(shí)，g′（x）＜0，g（x）遞減．
即有x=$\frac{1}{e}$處取得極小值，且為最小值-$\frac{1}{e}$，
當(dāng)0＜t≤$\frac{1}{e}$時(shí)，函數(shù)g（x）在[t，t+1]處的最小值為g（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{1}{e}$；
當(dāng)t＞$\frac{1}{e}$時(shí)，函數(shù)g（x）在[t，t+1]遞增，即有最小值為g（t）=tlnt；
（2）證明：f（x）＞-1即為（x-2）lnx+1＞0恒成立，
即有0小于h（x）=（x-2）lnx+1的最小值．
由h（x）的導(dǎo)數(shù)h′（x）=lnx+$\frac{x-2}{x}$，
可得lnx，-$\frac{2}{x}$在x＞0遞增，又h（1）=h（2）=1＞0，
設(shè)lnx+$\frac{x-2}{x}$=0的解為x₀，設(shè)為最小值點(diǎn)且x₀∈（1，2），
即有l(wèi)nx₀=$\frac{2-{x}_{0}}{{x}_{0}}$，
h（x₀）=（x₀-2）lnx₀+1=1-$\frac{（{x}_{0}-2）^{2}}{{x}_{0}}$=5-（x₀+$\frac{4}{{x}_{0}}$），
由x₀∈（1，2），可得h（x₀）∈（0，1），
則（x-2）lnx+1＞0恒成立，即f（x）＞-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線(xiàn)的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查不等式的證明，注意運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)求得導(dǎo)數(shù)和最值，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．