Question

14．在△ABC中，知cosA=$\frac{c}{a}$cosC，b+c=2+$\sqrt{2}$，cosB=$\frac{3}{4}$，則△ABC的面積是$\frac{\sqrt{7}}{2}$．

Answer 1

分析 由余弦定理化簡(jiǎn)已知等式可得：b²（a²-c²）=（a²+c²）（a²-c²），利用B為銳角，可解得a=c，由cosB=$\frac{3}{4}$，利用余弦定理可得：c=a=$\sqrt{2}$b，結(jié)合∵b+c=2+$\sqrt{2}$，解得a，c的值，根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求得
sinB，利用三角形面積公式即可得解．

解答 解：在△ABC中，∵cosA=$\frac{c}{a}$cosC，
∴由余弦定理可得：$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{c}{a}$×$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，整理可得：b²（a²-c²）=（a²+c²）（a²-c²），
∴解得：a=c，或b²=a²+c²（由于cosB=$\frac{3}{4}$＞0，B為銳角，舍去），
∴a=c，
∵cosB=$\frac{3}{4}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{{c}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2{c}^{2}}$=$\frac{2{c}^{2}-^{2}}{2{c}^{2}}$，可解得：c=a=$\sqrt{2}$b，
又∵b+c=2+$\sqrt{2}$，解得：a=c=2，
由cosB=$\frac{3}{4}$，可得：sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}×$2×2×$\frac{\sqrt{7}}{4}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{7}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了余弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，三角形面積公式在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．