Question

17．定義在R上的函數(shù)f（x）對(duì)任意x₁，x₂（x₁≠x₂）都有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}$＜0，且函數(shù)y=f（x-1）的圖象關(guān)于（1，0）成中心對(duì)稱，對(duì)于2≤s≤4，總存在t使不等式f（s²-2s）≤-f（2t-t²）成立，求t的取值范圍是（　　）

• A． [0，2]
• B． （0，2）
• C． （-∞，-2]∪[4，+∞）
• D． [-2，4]

Answer 1

分析 由題意求得f（x）在R上是減函數(shù)，f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，再根據(jù)s²-2s∈[0，8]，從而得到 t² -2t≤0，由此求得t的取值范圍．

解答 解：由定義在R上的函數(shù)f（x）對(duì)任意x₁，x₂（x₁≠x₂）都有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}$＜0，
可得f（x）在R上是減函數(shù)，
由函數(shù)y=f（x-1）的圖象關(guān)于（1，0）成中心對(duì)稱，可得f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱．
對(duì)于2≤s≤4，有s²-2s∈[0，8]，∵總存在t使不等式f（s²-2s）≤-f（2t-t²）=f（t²-2t）成立，
∴t² -2t≤0，解得 0≤t≤2，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的恒成立問題，屬于中檔題．