Question

【題目】已知函數(shù),令，其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).

(Ⅰ)當(dāng)時，求的極值；

(Ⅱ)當(dāng)時，若存在,使得恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) 極小值，無極大值；(Ⅱ).

【解析】

試題分析：（Ⅰ）把代入函數(shù)的解析式，求其導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)對定義域分段，得到函

數(shù)在各區(qū)間段內(nèi)的單調(diào)性，從而求得函數(shù)極值；（Ⅱ）由函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)可得函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)在 上的最值，再由恒成立，結(jié)合分離參數(shù)可得 ，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求其最值得的范圍.

試題解析：(Ⅰ)依題意，則

當(dāng)a=0時，

令解得；

當(dāng)時，，當(dāng)時，

所以的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,)，單調(diào)遞增區(qū)間為(,+∞)

所以時取得極小值，無極大值.

(Ⅱ)

當(dāng)即時，恒有成立，

所以在[1,3]上是單調(diào)遞減.

所以

所以，

因為存在,使得恒成立，

所以整理得

又<0，所以

令=－，則∈(2,8)，構(gòu)造函數(shù),

所以，

當(dāng)時，，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，

當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，

所以，

所以m的取值范圍為(,+∞).