設(shè)函數(shù)f(x)=+ax-lnx(a∈R).
(Ⅰ)當(dāng)a=1時(shí),求函數(shù)f(x)的極值;
(Ⅱ)當(dāng)a≥2時(shí),討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(Ⅲ)若對(duì)任意及任意
,
∈[1,2],恒有
成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
(Ⅰ),無極大值;(Ⅱ)當(dāng)
時(shí),
單調(diào)遞減 ,當(dāng)
時(shí),
單調(diào)遞減,在
上單調(diào)遞增;(Ⅲ)
.
解析試題分析:(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求函數(shù)
的極值,只需對(duì)函數(shù)
求導(dǎo),求出導(dǎo)數(shù)等零點(diǎn),及在零點(diǎn)兩邊的單調(diào)性,注意, 求函數(shù)
的極值不要忽略求函數(shù)的定義域;(Ⅱ)討論函數(shù)
的單調(diào)性,只需判斷
的導(dǎo)數(shù)
在區(qū)間上的符號(hào),因此,此題先求導(dǎo),在判斷符號(hào)時(shí),發(fā)現(xiàn)參數(shù)
的取值對(duì)
有影響,需對(duì)參數(shù)討論,分
,與
兩種情況,從而確定單調(diào)區(qū)間;(Ⅲ)對(duì)任意
及任意
,
∈[1,2],恒有
成立,只需求出
的最大值即可.
試題解析:(Ⅰ)函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/16/2/f9b1s.png" style="vertical-align:middle;" />,當(dāng)時(shí),
令
,當(dāng)
時(shí),
;當(dāng)
時(shí),
,
單調(diào)遞減,在
單調(diào)遞增,
,無極大值 ;
(Ⅱ),
,①當(dāng)
即
時(shí),
上是減函數(shù),②當(dāng)
,即
時(shí),令
,得
,令
,得
綜上,當(dāng)時(shí),
單調(diào)遞減 ,當(dāng)
時(shí),
單調(diào)遞減,在
上單調(diào)遞增;
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,當(dāng)時(shí),
上單調(diào)遞減,當(dāng)
時(shí),
有最大值,當(dāng)
時(shí),
有最小值,
,
,
而經(jīng)整理得
.
考點(diǎn):函數(shù)與導(dǎo)數(shù),導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值,導(dǎo)數(shù)與不等式的綜合應(yīng)用,考查學(xué)生的基本推理能力,考查學(xué)生的基本運(yùn)算能力以及轉(zhuǎn)化與化歸的能力.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)和
,且
.
(1)求函數(shù),
的表達(dá)式;
(2)當(dāng)時(shí),不等式
在
上恒成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù),
.
(Ⅰ)當(dāng),
時(shí),求
的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng),且
時(shí),求
在區(qū)間
上的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)函數(shù).
(1)若,
對(duì)一切
恒成立,求
的最大值;
(2)設(shè),且
、
是曲線
上任意兩點(diǎn),若對(duì)任意
,直線
的斜率恒大于常數(shù)
,求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(理)已知函數(shù)f(x)= -lnx,x∈[1,3].
(Ⅰ)求f(x)的最大值與最小值;
(Ⅱ)若f(x)<4-At對(duì)于任意的x∈[1,3],t∈[0,2]恒成立,求實(shí)數(shù)A的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù),設(shè)曲線
在與
軸交點(diǎn)處的切線為
,
為
的導(dǎo)函數(shù),滿足
.
(1)求;
(2)設(shè),
,求函數(shù)
在
上的最大值;
(3)設(shè),若對(duì)于一切
,不等式
恒成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知a>0,函數(shù).
(1)若,求函數(shù)
的極值,
(2)是否存在實(shí)數(shù),使得
成立?若存在,求出實(shí)數(shù)
的取值集合;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)為實(shí)數(shù),函數(shù)
(Ⅰ)求的單調(diào)區(qū)間與極值;
(Ⅱ)求證:當(dāng)且
時(shí),
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