Question

已知中心在原點(diǎn)的橢圓Γ₁和拋物線Γ₂有相同的焦點(diǎn)（1，0），橢圓Γ₁的離心率為

1

2

，拋物線Γ₂的頂點(diǎn)為原點(diǎn)．
（Ⅰ） 求橢圓Γ₁和拋物線Γ₂的方程；
（Ⅱ） 設(shè)點(diǎn)P為拋物線Γ₂準(zhǔn)線上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作拋物線Γ₂的兩條切線PA，PB，其中A，B為切點(diǎn)．
（�。┰O(shè)直線PA，PB的斜率分別為k₁，k₂，求證：k₁k₂為定值；
（ⅱ）若直線AB交橢圓Γ₁于C，D兩點(diǎn)，S_△PAB，S_△PCD分別是△PAB，△PCD的面積，試問：

S△PAB

S△PCD

是否有最小值？若有，求出最小值；若沒有，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（I）設(shè)橢圓Γ₁和拋物線Γ₂的方程分別為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)， y2=2px（p＞0）．由題意得，

c

a

=

1

2

， c=1， 

p

2

=1，解出即可得出．
（II）（�。┰O(shè)P（-1，t），過(guò)點(diǎn)P與拋物線y²=4x相切的直線方程為y-t=k（x+1），與拋物線方程聯(lián)立可得y2-

4

k

y+

4t

k

+4=0，由△=0及其根與系數(shù)的關(guān)系即可得出．
（ⅱ）法一：設(shè)A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），由（�。┑�y1=

2

k1

，y2=

2

k2

，可得x₁，x₂，直線BA的方程為y=-

2

k1+k2

(x-1)，即直線AB過(guò)定點(diǎn)（1，0）．
法二：以A為切點(diǎn)的切線方程為y-y1=

2

y1

(x-x1)，即y₁y=2（x+x₁），同理以B為切點(diǎn)的切線方程為y₂y=2（x+x₂），由兩條切線均過(guò)點(diǎn)P（-1，t），可得切點(diǎn)弦AB的方程為ty=2（x-1），即直線AB過(guò)定點(diǎn)（1，0）．設(shè)P到直線AB的距離為d，

S△PAB

S△PCD

=

1 2 d•|AB|

1 2 d|CD|

=

|AB|

|CD|

．
①當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=k（x-1），設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），直線方程與拋物線方程聯(lián)立可得：k²x²-（2k²+4）x+k²=0，k≠0時(shí)△＞0恒成立．利用根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式可得|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

．直線方程與橢圓方程聯(lián)立同理可得|CD|=

(1+k2)[(x3+x4)2-4x3x4]

，可得

S△PAB

S△PCD

=

1

k2

+

4

3

＞

4

3

．
②當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，直線AB的方程為x=1，可得

S△PAB

S△PCD

=

4

3

，比較①②即可得出．

解答： （I）解：設(shè)橢圓Γ₁和拋物線Γ₂的方程分別為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)， y2=2px（p＞0）
由題意得，

c

a

=

1

2

， c=1， 

p

2

=1，即

a=2 c=1

，p=2，
∴橢圓Γ₁的方程為

x2

4

+

y2

3

=1，拋物線Γ₂的方程為y²=4x．
（II）（�。┳C明：設(shè)P（-1，t），過(guò)點(diǎn)P與拋物線y²=4x相切的直線方程為y-t=k（x+1），
由

y-t=k(x+1) y2=4x

消去x得y2-

4

k

y+

4t

k

+4=0，
由△=0得

1

k2

-

t

k

-1=0，即k²+tk-1=0，則k₁k₂=-1．
（ⅱ）法一：設(shè)A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），
由（ⅰ）得y1=

2

k1

，y2=

2

k2

，則x1=

1

k 2 1

，x2=

1

k 2 2

，
直線AB的方程為y-y1=

y2-y1

x2-x1

(x-x1)，即y=-

2

k1+k2

(x-1)，
即直線AB過(guò)定點(diǎn)（1，0）．
法二：以A為切點(diǎn)的切線方程為y-y1=

2

y1

(x-x1)，即y=

2

y1

x+

y1

2

，即y₁y=2（x+x₁），
同理以B為切點(diǎn)的切線方程為y₂y=2（x+x₂），
∵兩條切線均過(guò)點(diǎn)P（-1，t），
∴

ty1=2(-1+x1) ty2=2(-1+x2).

，
則切點(diǎn)弦AB的方程為ty=2（x-1），即直線AB過(guò)定點(diǎn)（1，0）
設(shè)P到直線AB的距離為d，

S△PAB

S△PCD

=

1 2 d•|AB|

1 2 d|CD|

=

|AB|

|CD|

．
①當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=k（x-1），
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
由

y2=4x y=k(x-1)

消去y得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，k≠0時(shí)△＞0恒成立．
|AB|=

(1+k2)(x2-x1)2

=

(1+k2) 16+16k2 k4

=

4(1+k2)

k2

．
由

x2 4 + y2 3 =1 y=k(x-1)

消去y得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，△＞0恒成立．
|CD|=

(1+k2)(x3-x4)2

=

(1+k2) 144+144k2 (3+4k2)2

=

12(1+k2)

3+4k2

，
∴

S△PAB

S△PCD

=

4(1+k2) k2

12(1+k2) 3+4k2

=

3+4k2

3k2

=

1

k2

+

4

3

＞

4

3

．
②當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，直線AB的方程為x=1，
此時(shí)，|AB|=4，|CD|=3，

S△PAB

S△PCD

=

4

3

，
∴

S△PAB

S△PCD

的最小值為

4

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓拋物線相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式、三角形的面積計(jì)算公式、直線過(guò)定點(diǎn)問題，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．