Question

如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，∠BAD=60°，M為CD的中點(diǎn)，若N為菱形內(nèi)任意一點(diǎn)（含邊界），且|MN|≤1，則

AM

•

AN

的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：計(jì)算題,數(shù)形結(jié)合,平面向量及應(yīng)用,直線與圓

分析：先以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，求出其它各點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示出

AM

•

AN

，把所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在平面區(qū)域內(nèi)求線性目標(biāo)函數(shù)的最值問(wèn)題求解即可．

解答： 解：以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，
由于菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，∠A=60°，M為DC的中點(diǎn)，
故點(diǎn)A（0，0），則B（2，0），C（3，

3

），
D（1，

3

），M（2，

3

）．
設(shè)N（x，y），
因?yàn)?

AM

=（2，

3

），

AN

=（x，y），則

AM

•

AN

=2x+

3

y，
由于|MN|≤1，即有N在以M為圓心，1為半徑的下半圓內(nèi)，
又N為平行四邊形內(nèi)（包括邊界）一動(dòng)點(diǎn)，
則對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖所示，
結(jié)合圖象可得當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z=2x+

3

y過(guò)點(diǎn)C（3，

3

）時(shí)，
z=2x+

3

y取得最大值為9，
當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z=2x+

3

y與半圓相切時(shí)，即

|2×2+ 3 × 3 -z|

4+3

=1，
可得z=7-

7

，或7+

7

（舍去）．
z=2x+

3

y取得最小值7-

7

．
則

AM

•

AN

的取值范圍為[7-

7

，9]．
故答案為：[7-

7

，9]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查向量在幾何中的應(yīng)用以及數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，是對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本思想的考查，屬于中檔題．