Question

14．已知函數(shù) f （ x ）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）+cos（2x+$\frac{π}{6}$）+2sin x cos x．
（Ⅰ）求函數(shù) f （ x） 圖象的對(duì)稱軸方程；
（Ⅱ）將函數(shù) y=f （ x） 的圖象向右平移 $\frac{π}{12}$個(gè)單位，再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的 4 倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù) y=g （ x） 的圖象，求 y=g （ x） 在[$\frac{π}{3}$，2π]上的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)函數(shù)解析式可得f （ x ）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），令2x+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得函數(shù) f （ x） 圖象的對(duì)稱軸方程．
（Ⅱ）利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律可求g （ x）=2sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$），由x∈[$\frac{π}{3}$，2π]，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求值域．

解答 解：（Ⅰ）∵f （ x ）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）+cos（2x+$\frac{π}{6}$）+2sinxcosx
=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x-$\frac{1}{2}$sin2x+sin2x
=$\sqrt{3}$cos2x+sin2x
=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），
∴令2x+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得函數(shù) f （ x） 圖象的對(duì)稱軸方程：x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$，k∈Z，
（Ⅱ）將函數(shù) y=f （ x） 的圖象向右平移 $\frac{π}{12}$個(gè)單位，可得函數(shù)解析式為：y=2sin[2（x-$\frac{π}{12}$）+$\frac{π}{3}$]=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的 4 倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù) 解析式為：y=g （ x）=2sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$），
∵x∈[$\frac{π}{3}$，2π]，
∴$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{7π}{6}$]，可得：sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
∴g （ x）=2sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）∈[-1，2]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．