Question

在平面直角坐標系xOy中，圓C過點（0，-1），（3+

2

，0），（3-

2

，0）
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）是否存在實數a，使得圓C與直線x+y+a=0交于A，B兩點，且OA⊥OB，若存在，求出a的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：圓的標準方程,直線與圓的位置關系

專題：直線與圓

分析：（Ⅰ）設圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，把點（0，-1），（3+

2

，0），（3-

2

，0）分別代入，能求出圓C的方程．
（Ⅱ）聯立

x2+y2-6x+8y+7=0 x+y+a=0

，得2x²+（2a-14）x+a²-8a+7=0，由此利用根的判別式和根與系數的關系，結合已知條件推導出不存在實數a，使得圓C與直線x+y+a=0交于A，B兩點，且OA⊥OB．

解答： 解：（Ⅰ）設圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，
把點（0，-1），（3+

2

，0），（3-

2

，0）分別代入，得：

1-E+F=0 11+6 2 +(3+ 2 )D+F=0 11-6 2 +(3- 2 )D+F=0

，
解得D=-6，E=8，F=7，
∴圓C的方程為x²+y²-6x+8y+7=0．
（Ⅱ）聯立

x2+y2-6x+8y+7=0 x+y+a=0

，
得2x²+（2a-14）x+a²-8a+7=0，
∵圓C與直線x+y+a=0交于A，B兩點，
∴△=（2a-14）²-8（a²-8a+7）＞0，解得-5＜a＜7，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=7-a，x₁x₂=

a2-8a+7

2

，
y₁y₂=（-x₁-a）（-x₂-a）=x1x2+a(x1+x2)+a2，
∵OA⊥OB，
∴x₁x₂+y₁y₂=2x1x2+a(x1+x2)+a2=0，
∴2×

a2-8a+7

2

+（7-a）a+a²=0，
整理，得a²-a+7=0，
△′=1-28＜0，方程無解，
∴不存在實數a，使得圓C與直線x+y+a=0交于A，B兩點，且OA⊥OB．

點評：本題考查圓的方程的求法，考查滿足條件的直線方程是否存在的判斷與求法，是中檔題，解題時要注意待定系數法的合理運用．