Question

18．某企業(yè)有甲、乙兩個研發(fā)小組，他們研發(fā)一件新產(chǎn)品成功的概率分別為$\frac{3}{4}$和$\frac{2}{3}$，本年度計劃研發(fā)的新產(chǎn)品件數(shù)分別為2件和1件．設(shè)甲、乙兩組的每次研發(fā)均相互獨立．
（1）求該企業(yè)本年度至少有一件新產(chǎn)品研發(fā)成功的概率；
（2）已知研發(fā)一件新產(chǎn)品的成本為10百萬元，成功研發(fā)一件新產(chǎn)品可獲得50百萬元的銷售額，求該企業(yè)本年度在這3件新產(chǎn)品上獲得的利潤X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）首先設(shè)出至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功為事件A，包含情況較多，所以要求該事件的概率，考慮求其對立事件，即沒有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功，根據(jù)獨立試驗同時發(fā)生的概率計算方法即可求的對立事件的概率，再利用互為對立事件概率之間的關(guān)系，即和為1，即可求的相應(yīng)的概率．
（2）根據(jù)題意，研發(fā)新產(chǎn)品的結(jié)果分為四種情況，利用獨立試驗同時發(fā)生的概率計算方法分別得到每種情況的概率，再根據(jù)題意算出此時的利潤，即可得到關(guān)于利潤的分布列，再利用概率與對應(yīng)的利潤成績之和即可得到數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）記E={甲組研發(fā)新產(chǎn)品成功}，F(xiàn)={乙組研發(fā)新產(chǎn)品成功}．
由題設(shè)知P（E）=$\frac{3}{4}$，P（$\overline{E}$）=$\frac{1}{4}$，P（F）=$\frac{2}{3}$，P（$\overline{F}$）=$\frac{1}{3}$，
且事件E與F，E與$\overline{F}$，$\overline{E}$ 與F，$\overline{E}$與$\overline{F}$都相互獨立．
記H={至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功}，則$\overline{H}$=$\overline{E}$$\overline{E}\overline{F}$，
∴P（$\overline{H}$）=P（$\overrightarrow{E}$$\overline{E}\overline{F}$）=P（$\overline{E}$）P（$\overline{E}$）P（$\overline{F}$）=$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{4}×\frac{1}{3}$=$\frac{1}{48}$，
故該企業(yè)本年度至少有一件新產(chǎn)品研發(fā)成功的概率為：
P（H）=1-P（$\overline{H}$）=1-$\frac{1}{48}$=$\frac{47}{48}$．
（2）設(shè)企業(yè)可獲利潤為X  （百萬元），則X的可能取值為-30，30，90，150．
∵P（X=-30）=P（$\overline{E}$$\overline{E}\overline{F}$）=$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{4}×\frac{1}{3}=\frac{1}{48}$，
P（X=30）=P（E$\overline{E}\overline{F}$）+P（$\overline{E}E\overline{F}$）+P（$\overline{E}\overline{E}F$）=$\frac{3}{4}×\frac{1}{4}×\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}×\frac{3}{4}×\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}×\frac{1}{4}×\frac{2}{3}$=$\frac{1}{6}$，
P（X=90）=P（$\overline{E}EF$）+P（E$\overline{E}F$）+P（EE$\overline{F}$）=$\frac{1}{4}×\frac{3}{4}×\frac{2}{3}+\frac{3}{4}×\frac{1}{4}×\frac{2}{3}$+$\frac{3}{4}×\frac{3}{4}×\frac{1}{3}$=$\frac{7}{16}$，
P（X=150）=P（EEF）=$\frac{3}{4}×\frac{3}{4}×\frac{2}{3}$=$\frac{3}{8}$，
∴該企業(yè)本年度在這3件新產(chǎn)品上獲得的利潤X的分布列為：

X	-30	30	90	150
P	$\frac{1}{48}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{7}{16}$	$\frac{3}{8}$

∴EX=-30×$\frac{1}{48}$+30×$\frac{1}{6}$+90×$\frac{7}{16}$+150×$\frac{3}{8}$=100（百萬元）．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意對立事件概率計算公式的合理運用．