Question

13．已知關(guān)于x的不等式tx²-6x+t²＜0的解集是（-∞，a）∪（1，+∞）；函數(shù)f（x）=-$\frac{1}{3}$tx²+$\frac{2}{3}$ax-8．
（1）求a和t的值；
（2）若對一切x＞2，均有f（x）≥（m+2）x-m-15成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用不等式的解集，列出不等式組，即可求a和t的值；
（2）通過對一切x＞2，均有f（x）≥（m+2）x-m-15成立，分離變量，利用基本不等式求出最值，然后求實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）依題意可得$\left\{\begin{array}{l}{t＜0}\\{a+1=\frac{6}{t}}\\{a•1=t}\end{array}\right.$，解得t=-3，a=-3．
（2）由（1）f（x）=x²-2x-8．當x＞2時，f（x）≥（m+2）x-m-15恒成立，
∴x²-2x-8≥（m+2）x-m-15，即x²-4x+7≥m（x-1）．∴對一切x＞2，均有不等式$\frac{{x}^{2}-4x+7}{x-1}$≥m成立．
而$\frac{{x}^{2}-4x+7}{x-1}$=（x-1）+$\frac{4}{x-1}$-2≥2$\sqrt{（x-1）•\frac{4}{x-1}}$-2=2．（當且僅當x-1=$\frac{4}{x-1}$即x=3時等號成立）
∴實數(shù)m的取值范圍是（-∞，2]．

點評 本題考查函數(shù)恒成立，基本不等式的應(yīng)用，不等式的解法，考查計算能力．