Question

13．已知{a_n}是正項(xiàng)數(shù)列，a₁=1，且點(diǎn)（$\sqrt{a_n}$，a_n+1）在函數(shù)y=x²+1的圖象上．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足b₁=1，b_n+1=b_n+2a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）由已知得a_n+1=a₁+1，從而數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由已知b_n+1-b_n=2n，利用累加法求出b_n=n²-n+1．由此能求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．

解答 解：（1）∵{a_n}是正項(xiàng)數(shù)列，a₁=1，且點(diǎn)（$\sqrt{a_n}$，a_n+1）在函數(shù)y=x²+1的圖象上，
∴a_n+1=a₁+1，
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，
∴a_n=1+（n-1）×1=n．
（2）∵數(shù)列{b_n}滿足b₁=1，b_n+1=b_n+2a_n=b_n+2n，
∴b_n+1-b_n=2n，
∴b_n=b₁+b₂-b₁+b₃-b₂+b₄-b₃+…+b_n-b_n-1
=1+2+4+6+…+2（n-1）
=1+$\frac{n-1}{2}（2+2n-2）$
=n²-n+1．
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和：
S_n=（1²+2²+3²+…+n²）-（1+2+3+…+n）+n
=$\frac{1}{6}$n（n+1）（2n+1）-$\frac{n（n+1）}{2}$+n．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意分組求和法的合理運(yùn)用．