Question

17．已知函數(shù)f（x）=e^x
（Ⅰ）求曲線f（x）過O（0，0）的切線l方程；
（Ⅱ）求曲線f（x）與直線x=0，x=1及x軸所圍圖形的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)切線l與曲線f（x）相切于P（t，e^t），運用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可得切線的斜率，由兩點的斜率公式，解方程可得t，即可得到斜率和切線方程；
（Ⅱ）由題意可得，所求圖形面積為${∫}_{0}^{1}$e^xdx，求得被積函數(shù)，運用定積分公式，計算即可得到所求值．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)切線l與曲線f（x）相切于P（t，e^t），
由f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）=e^x，
切線斜率k=e^t=$\frac{{e}^{t}}{t}$，解得t=1，切線的斜率k為e，
故切線l的方程為y=ex；
（Ⅱ）由題意可得，所求圖形面積為${∫}_{0}^{1}$e^xdx=e^x|${\;}_{0}^{1}$=e¹-e⁰=e-1．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的方程，注意設(shè)出切點，考查不規(guī)則圖形的面積的求法，注意運用定積分計算，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．