Question

3．已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S₆=5S₂+18，a_3n=3a_n，數(shù)列{b_n}滿足b₁•b₂•…•b_n=4^S_n．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）令c_n=log₂b_n，且數(shù)列$\left\{{\frac{1}{{{c_n}•{c_{n+1}}}}}\right\}$的前n項(xiàng)和為T_n，求T₂₀₁₆．

Answer 1

分析 （I）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得a_n，利用遞推關(guān)系可得b_n．
（II）c_n=log₂b_n=6n，$\frac{1}{{c}_{n}{c}_{n+1}}$=$\frac{1}{36n（n+1）}$=$\frac{1}{36}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，利用“裂項(xiàng)求和”方法即可得出．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，
則$\left\{\begin{array}{l}6{a_1}+15d=5（2{a_1}+d）+18\;（1）\\{a_1}+（3n-1）d=3[{{a_1}+（n-1）d}]\;\;（2）\end{array}\right.$
由（1）得2a₁-5d+9=0，（2分）
由（2）得a₁=d，聯(lián)立得a₁=d=3，（3分）
所以a_n=3n．（4分）
易知b₁=64，（5分）
當(dāng)n≥2時(shí)${b_1}•{b_2}•…•{b_{n-1}}={4^{{S_{n-1}}}}$，又${b_1}•{b_2}•…•{b_n}={4^{S_n}}$，
兩式相除得${b_n}={64^n}\;（n≥2）$，（7分）b₁=64滿足上式，所以${b_n}={64^n}$．（8分）
（Ⅱ）${c_n}={log_2}{64^n}=6n$，$\frac{1}{{{c_n}•{c_{n+1}}}}=\frac{1}{36n（n+1）}=\frac{1}{36}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，（10分）
${T_n}=\frac{1}{36}（1-\frac{1}{n+1}）$，（11分）
因此${T_{2016}}=\frac{56}{2017}$．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、遞推關(guān)系、“裂項(xiàng)求和”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．