Question

如圖，四邊形PDCE為矩形，ABCD為梯形，平面PDCE⊥平面ABCD,∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD=.

(Ⅰ)若M為PA中點,求證:AC∥平面MDE;
(Ⅱ)求平面PAD與PBC所成銳二面角的大小.

Answer 1

(Ⅰ) 參考解析；(Ⅱ) 60°

試題分析：(Ⅰ)直線與平面平行的判定定理是在平面內找一條直線與該直線平行，由于點M是PA的中點，聯想到連結PC與ED它們的交點也是ED的中點，所以可得MN∥AC.從而可得結論.本小題通過已知的中點利用三角形的中位線定理得到平行是解題的突破口.
試題解析：（1）證明：連接PC，交DE與N，連接MN，
在△PAC中，∵M，N分別為兩腰PA，PC的中點
∴MN∥AC， （2分）
又AC面MDE，MN?面MDE，
所以AC∥平面MDE．                                        （4分）
（2）以D為空間坐標系的原點，分別以 DA，DC，DP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，
則P（0，0，a），B（a，a，0），C（0，2a，0），
所以，， （6分）
設平面PAD的單位法向量為，則可取               （7分）
設面PBC的法向量，
則有
即：，取=1，
則∴                 （10分）
設平面PAD與平面PBC所成銳二面角的大小為θ，
(Ⅱ)因為求平面PAD與PBC所成銳二面角的大小，如果做出二面角的平面角有一定的困難，可以延長CB與直線DA相交，從而取求解可以.本小題通過建立空間直角坐標系來求解，求出兩個平面的法向量，再通過求出法向量的夾角從而得到二面角的大小.
∴                    （11分）
∴θ=60°，所以平面PAD與平面PBC所成銳二面角的大小為60° （12分）