Question

已知圓O：x²+y²=2交x軸于A、B兩點(diǎn)，曲線C是以AB為長軸，離心率為

2

2

的橢圓，其左焦點(diǎn)為F，若P是圓O上一點(diǎn)，連結(jié)PF，過原點(diǎn)O作直線PF的垂線交直線x=-2于點(diǎn)Q．
（Ⅰ） 求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ） 若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，1）求證：直線PQ與圓O相切；
（Ⅲ） 試探究：當(dāng)點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)（不與A、B重合），直線PQ與圓O是否保持相切的位置關(guān)系？若是，請(qǐng)證明；若不是，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（I）由已知得a=

2

，e=

2

2

，由此能求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（Ⅱ）由已知得直線OQ的方程為y=-2x，從而點(diǎn)Q（-2，4），k_OP⊥k_PQ，由此能證明直線PQ與圓O相切．
（Ⅲ）當(dāng)點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線PQ與圓O保持相切．設(shè)P（x₀，y₀），（x0≠±

2

），則y02=2-x02，直線OQ的方程為y=-

x0+1

y0

x，由此入手能證明直線PQ始終與圓O相切．

解答： （I）解：∵圓O：x²+y²=2交x軸于A、B兩點(diǎn)，
曲線C是以AB為長軸，離心率為

2

2

的橢圓，
∴a=

2

，e=

2

2

，解得c=1，b=1，
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

2

+y2=1．…（4分）
（Ⅱ）證明：∵P（1，1），∴kPF=

1

2

，∴k_OQ=-2，
∴直線OQ的方程為y=-2x，
∴點(diǎn)Q（-2，4）…（6分）
∴k_PQ=-1，又k_OP=1，∴k_OP⊥k_PQ，
即OP⊥PQ，故直線PQ與圓O相切．…（8分）
（Ⅲ）解：當(dāng)點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線PQ與圓O保持相切，…（9分）
證明如下：設(shè)P（x₀，y₀），（x0≠±

2

），則y02=2-x02，
∴kPF=

y0

x0+1

，kOQ=-

x0+1

y0

，
∴直線OQ的方程為y=-

x0+1

y0

x，
∴點(diǎn)Q（-2，

2x0+2

y0

），…（11分）
∴k_PQ=

y0- 2x0+2 y0

x0+2

=

y02-(2x0+2)

(x0+2)y0

=

-x02-2x0

(x0+2)y0

=-

x0

y0

，
又k_OP=

y0

x0

，…（13分）
∴k_OP•k_PQ=-1，即OP⊥PQ，故直線PQ始終與圓O相切．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查直線與圓相切的證明，考查直線與圓的位置關(guān)系的判斷與證明，解題時(shí)要注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．