Question

已知點P（1，3）和⊙O：x²+y²=3，過點P的直線L與⊙O相交于不同兩點A、B，在線段AB上取一點Q，滿足

AP

=-λ

PB

，

AQ

=λ

QB

（λ≠0且λ≠±1），求證：點Q總在某定直線上．

Answer 1

考點：直線與圓的位置關(guān)系

專題：直線與圓

分析：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（x，y），由

AP

=-λ

PB

，

AQ

=λ

QB

，化簡可得（ x12+y12 ）-λ²（x22+y22 ）=（1-λ²）（x+3y）．又點A，B在圓x²+y²=3上，可得即x+3y=3，從而得出結(jié)論．

解答： 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（x，y），
由

AP

=-λ

PB

，可得（1-x₁，3-y₁）=-λ（x₂-1，y₂-3），即

x1-λx2=1-λ① y1-λy2=3(1-λ)②

．④
由

AQ

=λ

QB

，可得（x-x₁，y-y₁）=λ（x₂-x，y₂-y），即

x1+λx2=(1+λ)x③ y1+λy2=(1+λ)y④

．
①×③得  x12-법x22=（1-λ²） x，②×④可得 y12-법y22=3y（1-λ²）．
兩式相加，得（ x12+y12 ）-λ²（x22+y22 ）=（1-λ²）（x+3y），
又點A，B在圓x²+y²=3上，∴x12+y12=3，x22+y22=3，再由λ≠±1，λ≠0，
可得 x+3y=3，故點Q總在直線x+3y=3上．

點評：本題主要考查兩個向量的數(shù)量積公式、兩個向量坐標形式的運算，直線和圓的位置關(guān)系，式子的變形是解題的難點，屬于中檔題．