Question

15．A，B，C，D是同一球面上的四個(gè)點(diǎn)，$△ABC中，∠BAC=\frac{π}{2}，AB=AC$，AD⊥平面ABC，AD=6，$AB=2\sqrt{3}$，則該球的表面積為60π．

Answer 1

分析 由題意把A、B、C、D擴(kuò)展為三棱柱，求出上下底面中心連線的中點(diǎn)與A的距離為球的半徑，然后求出球的表面積

解答 解：由題意畫(huà)出幾何體的圖形如圖，
把A、B、C、D擴(kuò)展為三棱柱，
上下底面中心F、E連線的中點(diǎn)O與A的距離為球的半徑，
AD=6，AB=AC=2$\sqrt{3}$，OE=3，△ABC是等腰直角三角形，
E是BC中點(diǎn)，AE=$\frac{1}{2}BC=\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}$×$\frac{1}{2}$=$\sqrt{6}$，
∴球半徑AO=$\sqrt{A{E}^{2}+O{E}^{2}}$=$\sqrt{6+9}=\sqrt{15}$．
所求球的表面積S=4π（$\sqrt{15}$）²=60π．
故答案為：60π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查球的表面積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．