Question

1．若不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x-y+2≥0}\\{x-5y+10≤0}\\{x+y-8≤0}\end{array}\right.$所表示的平面區(qū)域存在點（x₀，y₀），使x₀+ay₀+2≤0成立，則實數(shù)a的取值范圍是（-∞，-1]．

Answer 1

分析 作出不等式組對應的平面區(qū)域，利用目標函數(shù)的幾何意義，結合數(shù)形結合進行求解即可．

解答 解：作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖：
若a=0，則不等式x+ay+2≤0等價為x≤-2，此時不滿足條件，
若a＞0，則不等式等價為y≤-$\frac{1}{a}$x-$\frac{2}{a}$，直線y=-$\frac{1}{a}$x-$\frac{2}{a}$的斜率k=-$\frac{1}{a}$＜0，此時區(qū)域都在直線y=-$\frac{1}{a}$x-$\frac{2}{a}$的上方，不滿足條件．
若a＜0，則不等式等價為y≥-$\frac{1}{a}$x-$\frac{2}{a}$，直線y=-$\frac{1}{a}$x-$\frac{2}{a}$的斜率k=-$\frac{1}{a}$＞0，
若平面區(qū)域存在點（x₀，y₀），使x₀+ay₀+2≤0成立，
則只要滿足點A（0，2）滿足條件不等式此時區(qū)域都在直線y=-$\frac{1}{a}$x-$\frac{2}{a}$的上方即可．
即0+2a+2≤0，解得a≤-1，
故答案為：（-∞，-1]．

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應用，利用數(shù)形結合以及分類討論的數(shù)學思想是解決本題的關鍵．