Question

F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓C：

x2

a2

+y2=1(a＞1)的左右焦點(diǎn)，直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)
（1）直線l斜率為1且過(guò)點(diǎn)F₁，若|AF₂|，|AB|，|BF₂|成等差數(shù)列，，求a值
（2）若直線l方程為y=2x+2，且OA⊥OB，求a值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)橢圓半焦距為c，則l方程為y=x+c；設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由|AF₂|，|AB|，|BF₂|成等差數(shù)列，知|AB|=

4

3

a

y=x+c x2 a2 +y2=1

，所以（1+a²）x²+2a²cx+a²（a²-2）=0，再由韋達(dá)定理能夠得到a值．
（2）聯(lián)立直線l與橢圓方程：

y=2x+2 x2 a2 +y2=1

，（1+4a²）x²+8a²x+3a²=0，再由韋達(dá)定理能夠得到a值．

解答：解：（1）設(shè)橢圓半焦距為c，則l方程為y=x+c；
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵|AF₂|，|AB|，|BF₂|成等差數(shù)列，
∴|AB|=

4

3

a

y=x+c x2 a2 +y2=1

?（1+a²）x²+2a²cx+a²（a²-2）=0，
x1+x2=-

2a2c

1+a2

，x1x2=

a2(a2-2)

1+a2

由|AB|=

1+k2

|x1-x2|得

4a

3

=

2

4a4(a2-1) (1+a2)2 - 4a2(a2-2) 1+a2

解得a=

2

…（6分）
（2）聯(lián)立直線l與橢圓方程：

y=2x+2 x2 a2 +y2=1

?（1+4a²）x²+8a²x+3a²=0，
x1+x2=-

8a2

1+4a2

，x1x2=

3a2

1+4a2

，
∵OA⊥OB，
∴x₁x₂+y₁y₂=0?5x₁x₂+4（x₁+x₂）+4=0
代入得

15a2

1+4a2

-

32a2

1+4a2

+4=0，
∴a=

1

2

…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和圓錐曲線的綜合問(wèn)題，解題時(shí)要注意橢圓性質(zhì)的靈活運(yùn)用和等差數(shù)列的合理運(yùn)用，同時(shí)要注意韋達(dá)定理的合理運(yùn)用．