【題目】已知袋子中放有大小和形狀相同的小球若干，其中標號為0的小球1個，標號為1的小球1個，標號為2的小球個.若從袋子中隨機抽取1個小球，取到標號為2的小球的概率是.

（1）求的值；

（2）從袋子中不放回地隨機抽取2個小球，記第一次取出的小球標號為，第二次取出的小球標號為.

①記“”為事件，求事件的概率；

②在區(qū)間內(nèi)任取2個實數(shù)，，求事件“恒成立”的概率.

【答案】（1）2；（2）①；②

【解析】

（1）先根據(jù)古典概型公式列從袋子中隨機抽取1個小球，取到標號為2的小球的概率，解得結(jié)果；

（2）①先確定不放回地隨機抽取2個球所確定基本事件數(shù)，再確定“”所包含基本事件數(shù)，最后根據(jù)古典概型概率求結(jié)果；

②先根據(jù)恒成立化簡，再根據(jù)幾何概型（面積型）概率公式求結(jié)果.

（1）根據(jù)從袋子隨機抽取1個小球，取到標號為2的小球的概率是，可得.

解得.

（2）①從袋子中不放回地隨機抽取2個球，共有基本事件12個，其中“”為事件的基本事件有4個，則.

②“恒成立”為事件，則事件等價于“恒成立”，可以看成平面中的點，則全部結(jié)果所構成的區(qū)域為，利用面積比得到事件.

練習冊系列答案
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【題目】為有效預防新冠肺炎對老年人的侵害，某醫(yī)院到社區(qū)檢查老年人的體質(zhì)健康情況．從該社區(qū)全體老年人中，隨機抽取12名進行體質(zhì)健康測試，根據(jù)測試成績（百分制）繪制莖葉圖如下．根據(jù)老年人體質(zhì)健康標準，可知成績不低于80分為優(yōu)良，且體質(zhì)優(yōu)良的老年人感染新冠肺炎的可能性較低．

（Ⅰ）從抽取的12人中隨機選取3人，記表示成績優(yōu)良的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學期望；

（Ⅱ）將頻率視為概率，根據(jù)用樣本估計總體的思想，在該社區(qū)全體老年人中依次抽取10人，若抽到人的成績是優(yōu)良的可能性最大，求的值．

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（2）至少有1名女運動員；

（3）隊長中至少有1人參加；

（4）既要有隊長，又要有女運動員.

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（1）設，求的單調(diào)區(qū)間；

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（i）證明：當，時，；

（ii）設關于的方程的根為，求證：

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【題目】節(jié)約資源和保護環(huán)境是中國的基本國策.某化工企業(yè),積極響應國家要求,探索改良工藝,使排放的廢氣中含有的污染物數(shù)量逐漸減少.已知改良工藝前所排放的廢氣中含有的污染物數(shù)量為,首次改良后所排放的廢氣中含有的污染物數(shù)量為.設改良工藝前所排放的廢氣中含有的污染物數(shù)量為,首次改良工藝后所排放的廢氣中含有的污染物數(shù)量為,則第n次改良后所排放的廢氣中的污染物數(shù)量,可由函數(shù)模型給出,其中n是指改良工藝的次數(shù).

（1）試求改良后所排放的廢氣中含有的污染物數(shù)量的函數(shù)模型;

（2）依據(jù)國家環(huán)保要求,企業(yè)所排放的廢氣中含有的污染物數(shù)量不能超過,試問至少進行多少次改良工藝后才能使得該企業(yè)所排放的廢氣中含有的污染物數(shù)量達標.

（參考數(shù)據(jù):取）

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