Question

1．已知橢圓C₁和雙曲線C₂焦點相同，且離心率互為倒數，F₁，F₂是它們的公共焦點，P是橢圓和雙曲線在第一象限的交點，若∠F₁PF₂=60°，則橢圓C₁的離心率為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 設橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），雙曲線C₂：$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{n}^{2}}$=1（m，n＞0），由題意可得a²-b²=m²+n²=c²，運用橢圓和雙曲線的定義，以及離心率公式，結合條件，化簡整理，可得a=3m，c=$\sqrt{3}$m，由離心率公式可得．

解答 解：設橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
雙曲線C₂：$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{n}^{2}}$=1（m，n＞0），
由題意可得a²-b²=m²+n²=c²，
e₁=$\frac{c}{a}$，e₂=$\frac{c}{m}$，由e₁e₂=1，可得am=c²，
設PF₁=s，PF₂=t，由余弦定理可得，
4c²=s²+t²-2st•$\frac{1}{2}$=s²+t²-st，
由橢圓的定義可得s+t=2a，
由雙曲線的定義可得，s-t=2m，
可得s=a+m，t=a-m，
即有4c²=（a+m）²+（a-m）²-（a+m）（a-m），
即為4am=a²+3m²，
解得a=m（舍去）或a=3m，
c=$\sqrt{3}$m，
則e₁=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故選：A．

點評 本題考查橢圓和雙曲線的定義、方程和性質，注意運用定義法和離心率公式是解題的關鍵，屬于中檔題．