Question

10．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1+x}{e^x}$，g（x）=1-ax²．
（1）若函數(shù)f（x）和g（x）的圖象在x=1處的切線平行，求a的值；
（2）當x∈[0，1]時，不等式f（x）≤g（x）恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）分別求出f（x），g（x）的導(dǎo)數(shù)，計算得到f′（1）=g′（1），求出a的值即可；
（2）問題轉(zhuǎn)化為1-a≥$\frac{{x}^{2}+x+1}{{e}^{x}}$在[01，]恒成立，令h（x）=$\frac{{x}^{2}+x+1}{{e}^{x}}$，x∈[0，1]，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出h（x）的最大值，得到關(guān)于a的不等式，解出即可．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{-x}{{e}^{x}}$，f′（1）=-$\frac{1}{e}$，
g′（x）=-2ax，g′（1）=-2a，
由題意得：-2a=-$\frac{1}{e}$，解得：a=$\frac{1}{2e}$；
（2）當x∈[0，1]時，不等式f（x）≤g（x）恒成立，
即1-a≥$\frac{{x}^{2}+x+1}{{e}^{x}}$在[0，1]恒成立，
令h（x）=$\frac{{x}^{2}+x+1}{{e}^{x}}$，x∈[0，1]，
則h′（x）=$\frac{-x（x-1）}{{e}^{x}}$≥0，
故h（x）在[0，1]遞增，
故h（x）≤h（1）=$\frac{3}{e}$，
故1-a≥$\frac{3}{e}$，解得：a≤$\frac{e-3}{3}$．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．