Question

4．已知函數(shù)f（x）=x-ln（x+a）的最小值為0，其中a＞0，若對任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx²成立，則實(shí)數(shù)K的最小值為$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 確定函數(shù)的定義域，求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的最小值，利用函數(shù)f（x）=x-ln（x+a）的最小值為0，即可求得a的值；分類討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)的最值，即可求實(shí)數(shù)k的最小值．

解答 解：函數(shù)f（x）=x-ln（x+a）的定義域?yàn)椋?a，+∞），
求導(dǎo)函數(shù)可得f′（x）=$\frac{x+a-1}{x+a}$，
令f′（x）=0，可得x=1-a＞-a，
令f′（x）＞0，x＞-a可得x＞1-a；令f′（x）＜0，x＞-a可得-a＜x＜1-a
∴x=1-a時(shí)，函數(shù)取得極小值且為最小值．
∵函數(shù)f（x）=x-ln（x+a）的最小值為0，
∴f（1-a）=1-a-0，解得a=1；
當(dāng)k≤0時(shí)，取x=1，有f（1）=1-ln2＞0，故k≤0不合題意；
當(dāng)k＞0時(shí)，令g（x）=f（x）-kx²，即g（x）=x-ln（x+1）-kx²，
求導(dǎo)函數(shù)可得g′（x）=$\frac{-x[2kx-（1-2k）]}{x+1}$，
令g′（x）=0，可得x₁=0，x₂=$\frac{1-2k}{2k}$＞-1，
①當(dāng)k≥$\frac{1}{2}$時(shí)，$\frac{1-2k}{2k}$≤0．g′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，
因此g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，從而對任意的x∈[0，+∞），
總有g(shù)（x）≤g（0）=0，即對任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx²成立，
故k≥$\frac{1}{2}$符合題意；
②當(dāng)0＜k＜$\frac{1}{2}$時(shí)，$\frac{1-2k}{2k}$＞0，對于x∈（0，$\frac{1-2k}{2k}$），g′（x）＞0，
因此g（x）在（0，$\frac{1-2k}{2k}$）內(nèi)單調(diào)遞增．
因此當(dāng)x₀∈（0，$\frac{1-2k}{2k}$）時(shí)，g（x₀）≥g（0）=0，
即有f（x₀）≤kx₀²不成立，故0＜k＜$\frac{1}{2}$不合題意．
綜上，k的最小值為$\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想．屬于中檔題．