【題目】已知函數(shù)f(x)=()x.
(Ⅰ)當x∈[﹣1,1]時,求函數(shù)y=[f(x)]2﹣2af(x)+3的最小值g(a);
(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,是否存在實數(shù)m>n>3,使得g(x)的定義域為[n,m],值域為[n2,m2]?若存在,求出m、n的值;若不存在,請說明理由.
【答案】(Ⅰ)g(a)=(Ⅱ)見解析.
【解析】試題分析:(Ⅰ)在的情況下,求出的值域,對所給函數(shù)進行配方化簡,可利用一元二次函數(shù)的性質(zhì)對進行分類討論,可得函數(shù)的最小值;(Ⅱ)假設存在,利用(Ⅰ)中分段函數(shù)在的單調(diào)性,結(jié)合區(qū)間與值域,可得關于的等式,解得存在情況.
試題解析:(Ⅰ)∵x∈[﹣1,1],∴f(x)=()x∈[,3],
y=[f(x)]2﹣2af(x)+3=[()x]2﹣2a()x+3
=[()x﹣a]2+3﹣a2. .
由一元二次函數(shù)的性質(zhì)分三種情況:
若a<,則當時,ymin=g(a)=;
若≤a≤3,則當時,ymin=g(a)=3﹣a2;
若a>3,則當時,ymin=g(a)=12﹣6a.
∴g(a)=
(Ⅱ)假設存在滿足題意的m、n,
∵m>n>3,且g(x)=12﹣6x在區(qū)間(3,+∞)內(nèi)是減函數(shù),
又g(x)的定義域為[n,m],值域為[n2,m2],
∴
兩式相減,得6(m﹣n)=(m+n)(m﹣n),
∵m>n>3,∴m+n=6,但這與“m>n>3”矛盾,
∴滿足題意的m、n不存在.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某校高二奧賽班N名學生的物理測評成績(滿分120分)分布直方圖如下,已知分數(shù)在100~110的學生數(shù)有21人。
(Ⅰ)求總?cè)藬?shù)N和分數(shù)在110~115分的人數(shù)n;
(Ⅱ)現(xiàn)準備從分數(shù)在110~115分的n名學生(女生占)中任選2人,求其中恰好含有一名女生的概率;
(Ⅲ)為了分析某個學生的學習狀態(tài),對其下一階段的學習提供指導性建議,對他前7次考試的數(shù)學成績x(滿分150分),物理成績y進行分析,下面是該生7次考試的成績。
數(shù)學 | 88 | 83 | 117 | 92 | 108 | 100 | 112 |
物理 | 94 | 91 | 108 | 96 | 104 | 101 | 106 |
已知該生的物理成績y與數(shù)學成績x是線性相關的,若該生的數(shù)學成績達到130分,請你估計他的物理成績大約是多少?
附:對于一組數(shù)據(jù)其回歸線的斜率和截距的最小二乘估計分別為.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知:以點()為圓心的圓與軸交
于點O, A,與y軸交于點O, B,其中O為原點.
(1)求證:△OAB的面積為定值;
(2)設直線與圓C交于點M, N,若OM = ON,求圓C的方程.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,一個水輪的半徑為4m,水輪圓心O距離水面2m,已知水輪每分鐘轉(zhuǎn)動5圈,如果當水輪上點P從水中浮現(xiàn)時(圖中點p0)開始計算時間.
(1)將點p距離水面的高度z(m)表示為時間t(s)的函數(shù);
(2)點p第一次到達最高點大約需要多少時間?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某商店計劃每天購進某商品若干件,商店每銷售1件該商品可獲利50元.若供大于求,剩余商品全部退回,則每件商品虧損10元;若供不應求,則從外部調(diào)劑,此時每件調(diào)劑商品可獲利30元.
(Ⅰ)若商店一天購進該商品10件,求當天的利潤y(單位:元)關于當天需求量n(單位:件,n∈N)的函數(shù)解析式;
(Ⅱ)商店記錄了50天該商品的日需求量(單位:件),整理得下表:
日需求量n | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
頻數(shù) | 10 | 10 | 15 | 10 | 5 |
①假設該店在這50天內(nèi)每天購進10件該商品,求這50天的日利潤(單位:元)的平均數(shù);
②若該店一天購進10件該商品,記“當天的利潤在區(qū)間”為事件A,求P(A)的估計值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】(本小題滿分13分)已知橢圓C的中心在坐標原點,離心率,且其中一個焦點與拋物線的焦點重合.(Ⅰ)求橢圓C的方程;(Ⅱ)過點的動直線l交橢圓C于A、B兩點,試問:在坐標平面上是否存在一個定點T,使得無論l如何轉(zhuǎn)動,以AB為直徑的圓恒過點T,若存在,求出點T的坐標;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當時,求在區(qū)間上的最大值和最小值;
(2)若在區(qū)間上,函數(shù)的圖像恒在直線下方,求的取值范圍.
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【題目】某校高一(1)班有男同學45名,女同學15名,老師按照分層抽樣的方法抽取4人組建了一個課外興趣小組.
(I)求課外興趣小組中男、女同學的人數(shù);
(II)經(jīng)過一個月的學習、討論,這個興趣小組決定選出兩名同學做某項實驗,方法是從小組里選出一名同學做實驗,該同學做完后,再從小組內(nèi)剩下的同學中選出一名同學做實驗,求選出的兩名同學中恰有一名女同學的概率;
(III)在(II)的條件下,第一次做實驗的同學A得到的實驗數(shù)據(jù)為38,40,41,42,44,第二次做實驗的同學B得到的實驗數(shù)據(jù)為39,40,40,42,44,請問哪位同學的實驗更穩(wěn)定?并說明理由.
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