Question

【題目】（本小題滿分13分）已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率，且其中一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合．(Ⅰ)求橢圓C的方程；(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，試問(wèn)：在坐標(biāo)平面上是否存在一個(gè)定點(diǎn)T，使得無(wú)論l如何轉(zhuǎn)動(dòng)，以AB為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)T，若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】解：(Ⅰ)設(shè)橢圓的方程為，離心率，，拋物線的焦點(diǎn)為，所以，橢圓C的方程是x2+=1. …………（4分）

(Ⅱ)若直線l與x軸重合，則以AB為直徑的圓是x2+y2=1，若直線l垂直于x軸，則以AB為直徑的圓是(x+)2+y2=．

由解得即兩圓相切于點(diǎn)(1，0)．

因此所求的點(diǎn)T如果存在，只能是(1，0)．…………（6分）

事實(shí)上，點(diǎn)T(1，0)就是所求的點(diǎn)．證明如下：

當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，以AB為直徑的圓過(guò)點(diǎn)T(1，0)．

若直線l不垂直于x軸，可設(shè)直線l：y=k(x+)．由即(k2+2)x2+k2x+k2-2=0.

記點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),則…………（9分）

又因?yàn)?/span>=(x1-1, y1), =(x2-1, y2),

·=(x1-1)(x2-1)+y1y2=(x1-1)(x2-1)+k2(x1+)(x2+)

=(k2+1)x1x2+(k2-1)(x1+x2)+k2+1 =(k2+1) +(k2-1) + +1=0，

所以TA⊥TB，即以AB為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)T(1，0)．

所以在坐標(biāo)平面上存在一個(gè)定點(diǎn)T(1，0)滿足條件． …………（13分）

【解析】略