Question

1．設$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{0B}$=$\overrightarrow$，已知$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=2，當△AOB的面積最大時，求∠AOB的大�。�

Answer 1

分析 由條件$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{|}^{2}=4$，進行數乘的運算便可得到$|\overrightarrow{a}{|}^{2}+|\overrightarrow{|}^{2}=8$，從而可設$|\overrightarrow{a}|=2\sqrt{2}cosθ，|\overrightarrow|=2\sqrt{2}sinθ$，這樣便可得出S_△AOB=2sin2θsin∠AOB，從而sin2θ=1時△AOB的面積最大，這樣由$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=2$即可得到$cos∠AOB=\frac{1}{2}$，從而便可得出∠AOB的大�。�

解答 解：根據條件$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{|}^{2}=|\overrightarrow{a}{|}^{2}-4+|\overrightarrow{|}^{2}=4$；
∴$|\overrightarrow{a}{|}^{2}+|\overrightarrow{|}^{2}=8$；
∴設$|\overrightarrow{a}|=2\sqrt{2}cosθ，|\overrightarrow|=2\sqrt{2}sinθ$；
∴${S}_{△AOB}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|sin∠AOB$=2sin2θsin∠AOB；
∴sin2θ=1時，△AOB的面積最大；
∴此時，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|cos∠AOB=4sin2θcos∠AOB=4cos∠AOB=2$；
∴$cos∠AOB=\frac{1}{2}$；
∴$∠AOB=\frac{π}{3}$．

點評 考查向量數量積的運算及其計算公式，cos²x+sin²x=1，圓的參數方程，三角形的面積公式：$S=\frac{1}{2}absinC$，以及正弦函數的最值．