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9.如圖,在四邊形ABCD中,∠ABC=π3,AB:BC=2:3,AC=7
(1)求sin∠ACB的值;
(2)若BCD=3π4,CD=1,求△ACD的面積.

分析 (1)在△ABC中,由已知及余弦定理,比例的性質(zhì)即可解得BC=3,AB=2,由正弦定理即可解得sin∠ACB的值
(2)由(1)及余弦定理可求cos∠ACB,利用兩角差的正弦函數(shù)公式可求sin∠ACD的值,利用三角形面積公式即可計(jì)算得解.

解答 解:(1)∵∠ABC=π3,AB:BC=2:3,AC=7,可得:AB=2BC3,
∴在△ABC中,由余弦定理AC2=AB2+BC2-2AB•BC•cos∠ABC,可得:7=4BC29+BC2-2BC23
∴解得:BC=3,AB=2,
∴由正弦定理可得:sin∠ACB=ABsinABCAC=2×327=217
(2)∵由(1)及余弦定理可得:
cos∠ACB=AC2+BC2AB22ACBC=7+942×7×3=277,
∴sinACD=sin3π4ACB=22(cos∠ACB+sin∠ACB)
=22277+217),
∴S△ACD=12AC•CD•sin∠ACD=12×7×22×(277+217)=22+64

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了余弦定理,比例的性質(zhì),正弦定理,兩角差的正弦函數(shù)公式,三角形面積公式以及特殊角的三角函數(shù)值在解三角形中的綜合應(yīng)用,考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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