Question

16．在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點(diǎn)F是棱CC₁的中點(diǎn)，P是正方體表面上的一點(diǎn)，若D₁P⊥AF，則線段D₁P長(zhǎng)度的取值范圍是（　　）

• A． （0，$\sqrt{2}$）
• B． （0，$\frac{\sqrt{34}}{4}$]
• C． （0，$\frac{3}{2}$]
• D． （0，$\sqrt{3}$]

Answer 1

分析 由P是正方體表面上的一點(diǎn)，且D₁P⊥AF，通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)及其正方體的性質(zhì)即可得出．

解答 解：由P是正方體表面上的一點(diǎn)，且D₁P⊥AF．建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
①由D₁B₁⊥對(duì)角面ACC₁A₁，則取B₁點(diǎn)時(shí)，滿足D₁B₁⊥AF，此時(shí)線段D₁P長(zhǎng)度=$\sqrt{2}$．
②設(shè)點(diǎn)Q在直線AB上，則Q（1，t，0），$\overrightarrow{{D}_{1}Q}$=（1，t，-1），$\overrightarrow{AF}$=$（-1，1，\frac{1}{2}）$，
則$\overrightarrow{{D}_{1}Q}$•$\overrightarrow{AF}$=-1+t-$\frac{1}{2}$=0，解得t=$\frac{3}{2}$．此時(shí)$|\overrightarrow{{D}_{1}P}|$=$\frac{2}{3}$|$\overrightarrow{{D}_{1}Q}$|=$\frac{2}{3}\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{17}}{3}$$＜\sqrt{2}$．
由對(duì)稱性可得：線段D₁P長(zhǎng)度取得最大值D₁B=$\sqrt{2}$，
∴線段D₁P長(zhǎng)度的取值范圍是（0，$\sqrt{2}$]．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方體的性質(zhì)、線線線面垂直的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．