Question

(本小題滿分12分)
如圖，在□ABCD中，∠DAB=60°，AB=2，AD="4." 將△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EBD⊥平面ABD.

(1)求證：AB⊥DE；
(2)求三棱錐E—ABD的側面積.

Answer 1

（1）先求出BD，利用勾股定理知AB⊥BD，再由面面垂直的性質知AB⊥平面EBD，從而得證（2）S=8+2

解析試題分析：(1)在△ABD 中，∵AB=2，AD=4，∠DAB=60°，
∴BD=.
∴AB²+BD²=AD²，∴AB⊥BD.
又∵平面EBD⊥平面ABD，
平面EBD∩平面ABD=BD，AB平面ABD，
∴AB⊥平面EBD. 又∵DE平面EBC，∴AB⊥DE.                                ……5分
(2)由(1)知AB⊥BD.
∵CD∥AB    ∴CD⊥BD，從而DE⊥BD
在Rt△DBE中, ∵DB=2，DE=DC=AB=2，
∴S_△DBE=.……7分
又∵AB⊥平面EBD，BE平面EBD，∴AB⊥BE.
∵BE=BC=AD=4，S_△ABE=AB·BE=4……9分
∵DE⊥BD，平面EBD⊥平面ABD，∴ED⊥平面ABD，
而AD平面ABD，∴ED⊥AD，∴S_△ADE=AD·DE="4."                            ……11分
綜上，三棱錐E—ABD的側面積S=8+2.                                  ……12分
考點：本小題主要考查空間中直線、平面間的位置關系的判斷和證明以及側面積的計算，考查學生的空間想象能力和推理論證能力以及運算求解能力.
點評：要證明空間中直線、平面間的位置關系要緊扣判定定理和性質定理，定理中要求的條件缺一不可.