Question

19．已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c在x=-1和x=1時取得極值，且f（-2）=4．
（1）求函數(shù)f（x）的表達式；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-3，3]上的極值；
（3）若關于x的方程f（x）-a=0在實數(shù)集R上只有一個解，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）三次函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c在x=1和x=-1時取極值，說明方程f′（x）=0的兩個根為1和-1，求出a與b，再代入f（-2）=4，求出c值；
（2）由（1）求出f（x）的解析式，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出極值；
（3）畫出函數(shù)f（x）的圖象，結合圖象求出a的范圍即可．

解答 解：（1）f′（x）=3x²+2ax+b，
∵函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c在x=-1和x=1時取得極值，且f（-2）=4，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3+2a+b=0}\\{3-2a+b=0}\\{-8+4a-2b+c=4}\end{array}\right.$，解得：a=1，b=-3，c=6，
∴f（x）=x³-3x+6；
（2）由（1）得：f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），
令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜-1，令f′（x）＜0，解得：-1＜x＜1，
∴f（x）在（-∞，-1）遞增，在（-1，1）遞減，在（1，+∞）遞增，
∴f（x）在[-3，-1）遞增，在（-1，1）遞減，在（1，3]遞增，
∴函數(shù)f（x）的極大值是：f（-1）=8，極小值是：f（1）=4；
（3）結合（2）畫出f（x）的圖象，如圖示：
，
若關于x的方程f（x）-a=0在實數(shù)集R上只有一個解，
即函數(shù)y=f（x）和y=a有1個交點，
結合圖象：a＜4或a＞8．

點評 此題主要考查函數(shù)在某點的極值，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及掌握不等式的解法．這是高考必考的考點．