在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C的中心在原點O，焦點在x軸上，短軸長為2，離心率為.

(1)求橢圓C的方程；

(2)設A，B是橢圓C上的兩點，△AOB的面積為.若A、B兩點關于x軸對稱，E為線段AB的中點，射線OE交橢圓C于點P.如果＝t，求實數(shù)t的值．

 

（1）＋y2＝1

（2）t＝2或t＝

【解析】(1)設橢圓C的方程為：(a＞b＞0)，

則，解得a＝，b＝1，

故橢圓C的方程為＋y2＝1.

(2)由于A、B兩點關于x軸對稱，可設直線AB的方程為x＝m(－＜x＜，且m≠0)．

將x＝m代入橢圓方程得|y|＝，

所以S△AOB＝|m| ＝.

解得m2＝或m2＝.①

又＝t＝t(＋)＝t(2m,0)＝(mt,0)，

又點P在橢圓上，所以＝1.②

由①②得t2＝4或t2＝.

又因為t＞0，所以t＝2或t＝.

 

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