Question

17．已知雙曲線以銳角△ABC的頂點B，C為焦點，且經(jīng)過點A，若△ABC內(nèi)角的對邊分別為a、b、c，且a=2，b=3，$\frac{csinA}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，則此雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\frac{3+\sqrt{7}}{2}$
• B． $\frac{3-\sqrt{7}}{2}$
• C． 3-$\sqrt{7}$
• D． 3+$\sqrt{7}$

Answer 1

分析 運用正弦定理，可得C=$\frac{π}{3}$，再由余弦定理可得c=$\sqrt{7}$，運用雙曲線的定義可得實軸長為||AB|-|AC||，運用離心率公式即可得到所求．

解答 解：由正弦定理可得，sinC=$\frac{csinA}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由于銳角△ABC，可得C=$\frac{π}{3}$，
由余弦定理可得c²=a²+b²-2abcosC=4+9-2×2×3×$\frac{1}{2}$=7，
解得c=$\sqrt{7}$，
由雙曲線的定義可得實軸長為||AB|-|AC||=3-$\sqrt{7}$，又|BC|=2，
故離心率為e=$\frac{2}{3-\sqrt{7}}$=3+$\sqrt{7}$．
故選：D．

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運用正弦定理和余弦定理，以及雙曲線的定義，考查運算能力，屬于中檔題．