Question

已知函數(shù)f（x）=x²+2mx+2m+3（m∈R），若關于x的方程f（x）=0有實數(shù)根，且兩根分別為x₁、x₂，
（1）求（x₁+x₂）•x₁x₂的最大值；
（2）若函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，證明：函數(shù)g（x）=

f(x)

x

在[2，3]上的單調(diào)性．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質

專題：計算題,函數(shù)的性質及應用

分析：（1）由韋達定理可得x₁+x₂=-2m；x₁x₂=2m+3；從而化簡(x1+x2)•x1x2=-2m(2m+3)=-4(m+

3

4

)2+

9

4

；再由△≥0解出m的取值范圍，從而求最值；
（2）由題意可得m=0；故g(x)=

f(x)

x

=x+

3

x

；從而由定義法證明函數(shù)的單調(diào)性．

解答： 解：（1）由題意，
x₁+x₂=-2m；x₁x₂=2m+3；
(x1+x2)•x1x2=-2m(2m+3)=-4(m+

3

4

)2+

9

4

；
又∵△=4m²-4（2m+3）≥0；
∴m≤-1或m≥3，
∵t=-4(m+

3

4

)2+

9

4

在m∈（-∞，-1]上單調(diào)遞增，
m=-1時最大值為2，
t=-4(m+

3

4

)2+

9

4

在m∈[3，+∞）上單調(diào)遞減，
m=3時最大值為-54，
∴（x₁+x₂）•x₁x₂的最大值為2．
（2）證明：因為函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，所以m=0，
g(x)=

f(x)

x

=x+

3

x

；
任取2≤x₁＜x₂≤3，
則f（x₂）-f（x₁）=x2+

3

x2

-(x1+

3

x1

)
=(x2-x1)

x1x2-3

x1x2

＞0；
故g（x）在[2，3]上遞增．

點評：本題考查了二次函數(shù)的性質應用及單調(diào)性與最值的求法，屬于中檔題．