【題目】(2015·江蘇)某山區(qū)外圍有兩條相互垂直的直線型公路,為進一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀,計劃修建一條連接兩條公路的山區(qū)邊界的直線型公路,記兩條相互垂直的公路為了l1, l2 , 山區(qū)邊界曲線為C , 計劃修建的公路為l , 如圖所示,M , NC的兩個端點,測得點M到l1, l2 的距離分別為5千米和40千米,點N到l1, l2的距離分別為20千米和2.5千米,以l1, l2所在的直線分別為x , y軸,建立平面直角坐標系xOy , 假設曲線C符合函數(shù)y=(其中a , b為常數(shù))模型.

(1)求a , b的值;
(2)設公路l與曲線C相切于P點,P的橫坐標為t.
①請寫出公路l長度的函數(shù)解析式f(t),并寫出其定義域;
②當t為何值時,公路l的長度最短?求出最短長度.

【答案】
(1)

a=1000, b=0


(2)

①f(t)=,定義域為[5,20]t=10, f(t)min=15千米。


【解析】由題意得函數(shù)y= 過點位(5,40), (20, 2.5),列方程組就可解當a. b的值(2) ①求公路了長度的函數(shù)解析式}I川,就是求出直線l與x,y軸交點,再利用兩點間距離公式計算即可, 關鍵是利用導數(shù)幾何意義求出直線了方程,再根據(jù)M, N為C的兩個端點的限制條件得定義域為[5,20]②對函數(shù)解析式f(t)解析式根式內部分單獨求導求最值,注意列表說明函數(shù)變化趨勢.
試題解析:(1)由題意知,點M,N的坐標分別為(5,40),(20, 2.5)。將其代入y=,得, 解得a=1000, b=0 。
(2) ①由(1)知, y=(5≤x≤20), 則點P的坐標為(t,), 設在點P處的切線l交x, y軸分別于A,B點,y=-, 則l的方程為y-=-(x-t), 由此得A(,0), B(0, ).
故f(t)==,t(5,20),
②設g(t)=t2+, 則g'(t)=2t-. 令g'(t)=0,解得t=10. 當t(5,10)時,g'(t)<0, g(t)是減函數(shù)。
當t(10,20), g'(t)>0, g(t)是減函數(shù)。從而, 當t=10時, 函數(shù)g(t)有極小值,要是最小值,所以 g(t)min=300, 此時f(t)min=15
答:當t=10時,公路l的長度最短, 最短長度為15千米。
【考點精析】通過靈活運用函數(shù)的最值及其幾何意義,掌握利用二次函數(shù)的性質(配方法)求函數(shù)的最大(。┲;利用圖象求函數(shù)的最大(。┲;利用函數(shù)單調性的判斷函數(shù)的最大(。┲导纯梢越獯鸫祟}.

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日期

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

天氣

日期

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

天氣


(1)在4月份任取一天,估計西安市在該天不下雨的概率;
(2)西安市某學校擬從4月份的一個晴天開始舉行連續(xù)兩天的運動會,估計運動會期間不下雨的概率.

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A.
B.
C.
D.

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A.6
B.7
C.8
D.9

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(Ⅱ)設,證明:當時,.

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