Question

（本小題滿分14分）
已知函數(shù)的圖像在點P(0,f(0))處的切線方程為.
（Ⅰ）求實數(shù)a，b的值；
（Ⅱ）設(shè)是上的增函數(shù).
（ⅰ）求實數(shù)m的最大值；
（ⅱ）當(dāng)m取最大值時，是否存在點Q，使得過點Q的直線能與曲線圍成兩個封閉圖形，則這兩個封閉圖形的面積總相等？若存在，求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

Answer 1

（I）（II）（ⅰ）的最大值為3（ⅱ）存在點，使得過點的直線若能與函數(shù)的圖像圍成兩個封閉圖形，則這兩個封閉圖形的面積總相等。

本小題主要考察函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識，考察推力論證能力、抽象概況能力、運算求解能力，考察函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)換思想、分類與整合思想。滿分14分。
解法一：
（Ⅰ）由及題設(shè)得即。
（Ⅱ）（�。┯�
得。
是上的增函數(shù)，在上恒成立，
即在上恒成立。
設(shè)。
，
即不等式在上恒成立
當(dāng)時，不等式在上恒成立。
當(dāng)時，設(shè)，
因為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
因此。
，即。
又，故。
綜上，的最大值為3。
（ⅱ）由（�。┑�，其圖像關(guān)于點成中心對稱。
證明如下：



因此，。
上式表明，若點為函數(shù)在圖像上的任意一點，則點也一定在函數(shù)的圖像上。而線段中點恒為點，由此即知函數(shù)的圖像關(guān)于點成中心對稱。
這也就表明，存在點，使得過點的直線若能與函數(shù)的圖像圍成兩個封閉圖形，則這兩個封閉圖形的面積總相等。
解法二：
（Ⅰ）同解法一。
（Ⅱ）（�。┯�
得。
是上的增函數(shù)，在上恒成立，
即在上恒成立。
設(shè)。
，
即不等式在上恒成立。
所以在上恒成立。
令，，可得，故，即的最大值為3.
（ⅱ）由（�。┑�，
將函數(shù)的圖像向左平移1個長度單位，再向下平移個長度單位，所得圖像相應(yīng)的函數(shù)解析式為，。
由于，所以為奇函數(shù)，故的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點成中心對稱。
由此即得，函數(shù)的圖像關(guān)于點成中心對稱。
這也表明，存在點，是得過點的直線若能與函數(shù)的圖像圍成兩個封閉圖形，則這兩個封閉圖形的面積總相等。