Question

12．已知函數(shù)f（x）=|x+a|+|x-2|．
（1）若f（x）的最小值為4，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若-1≤x≤0時(shí)，不等式f（x）≤|x-3|恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)絕對(duì)值的意義得到|a+2|=4，求出a的值即可；（2）由|x+a|≤1在[-1，0]恒成立得到（-1-x）_max≤a≤（1-x）_min，求出a的范圍即可．

解答 解：（1）∵f（x）=|x-2|+|x+a|≥|（x-2）-（x+a）|=|a+2|，
當(dāng)且僅當(dāng)（x-2）（x+a）≤0時(shí)取等號(hào)，
∴f（x）_min=|a+2|，
由|a+2|=4，解得：a=2或a=-6；
（2）原命題等價(jià)于|x+a|+2-x≤3-x在[-1，0]恒成立，
即|x+a|≤1在[-1，0]恒成立，
即-1-x≤a≤1-x在[-1，0]恒成立，
即（-1-x）_max≤a≤（1-x）_min，
故a∈[0，1]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解絕對(duì)值不等式問(wèn)題，考查絕對(duì)值的性質(zhì)以及轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．